Преобразования

Глава 5 Преобразования

Матрицы и преобразования

Большая часть преобразований, которыми мы будем пользоваться, может быть описана в виде вещественной матрицы 3х3. Однако работа с матрицами 3х3 несколько усложняет вычисления, поскольку некоторые преобразования выполняются не так, как другие. Например, перенос реализуется сложением элементов матрицы, а поворот — умножением. Тем не менее, если вставить элементы матрицы 3х3 в матрицу 4х4 и должным образом заполнить свободные места, все преобразования можно будет выполнять посредством операции матричного умножения, поэтому для описания преобразований мы будем пользоваться матрицами 4х4. Если вы незнакомы с однородной системой координат, которая применяется при описании преобразований в трехмерном пространстве (а кто с ней знаком, кроме математиков?), вы наверняка чувствуете себя сбитым с толку. Давайте немедленно решим эту проблему и начнем с небольшого примера того, как пользоваться матрицами для преобразования координат точки в пространстве. Поскольку формулы для трехмерного случая оказываются довольно длинными, мы вместо этого рассмотрим упрощенный пример на плоскости — уверяю вас, в трехмерном пространстве он работает точно так же.

Двумерные координаты точки х, у в однородной системе координат представляются вектором следующего вида:

х

У 1

Матрица для переноса точки на плоскости выглядит следующим образом:

WlaTDHLlbl и поеобпазпняния "it!!® 121

1 0 dx О 1 dy 00 1

где dx — смещение точки по оси х, а dy — смещение по оси у. Теперь давайте умножим исходный вектор на эту матрицу и посмотрим, что у нас получится. При умножении матрицы на вектор-столбец каждый элемент вектора-результата представляет собой сумму элементов соответствующей строки матрицы, умноженных на элементы исходного вектора:

"1 0 dx] Гх] Г1 * х + 0 - у + 1 * dx] Гх + dx" 01dyxy=0*x+l*y+l*dy=y+dy 001 1 0 * х + 0 * у + 1 • 1 1

Как видит! при умножении вектора на матрицу переноса получается вектор, смещение которого в точности соответствует желаемому. Гениально! Когда я впервые научился пользоваться однородными координатами для сведения всех преобразований к умножению матриц, на меня это произвело глубочайшее впечатление. Впрочем, даже если вы не особенно потрясены, по крайней мере матричные преобразования становятся несколько более понятными.